Chaos, czyli efekt motyla

Wbrew stereotypom teoria chaosu ani nie jest ani chaotyczna, ani nie opisuje zjawisk całkowicie nieprzewidywalnych. Matematyka chaosu jest jak najbardziej ścisła. Jedyną cechą „równań chaosu” odróżniającą je od „normalnych” równań jest ich specyficzna nieliniowość i wynikające z niej zależności typu „z małej chmury duży deszcz”. Teoria chaosu stwierdza, że ​​w pozornym chaosie i przypadkowości złożonych systemów fizycznych istnieją wzorce, wzajemne połączenia, pętle sprzężenia zwrotnego, powtarzalność, samopodobieństwo (fraktale) i samoorganizacja. Jest to teoria interdyscyplinarna, przydatna zarówno przy prognozowaniu pogody czy ekonomii, jak i badaniu zjawisk społecznych i demografii.

Tytułem wstępu

Pozorna przypadkowość pewnych zjawisk sprawiła, że pierwsze próby ich wytłumaczenia doprowadziły do powstania tej mylącej, lecz medialnie chwytliwej nazwy. Z pozoru wydaje się, że matematyka rządząca jej prawami jest czymś w rodzaju matematycznej metafizyki. Aby zrozumieć teorię chaosu, należy umieć odróżnić układ deterministyczny od układu przewidywalnego. Układ deterministyczny to taki układ, którego stan zależy od warunków początkowych, a eksperyment modelujący taki układ jest powtarzalny. Nieprzewidywalność układu wynika z dokładności obliczeń numerycznych, których wyniki pośrednie są zaokrąglane powyżej progu wrażliwości, a wynik końcowy źle zaplanowanych obliczeń może nie odpowiadać rzeczywistemu stanowi końcowemu modelowanego systemu. To tak zwany chaos deterministyczny lub zwyczajnie chaos. Celnie zdefiniował to Edward Lorenz: Chaos: Kiedy teraźniejszość determinuje przyszłość, ale przybliżona teraźniejszość nie determinuje w przybliżeniu przyszłości.

Zachowanie chaotycznych systemów deterministycznych można w zasadzie przewidzieć. „W zasadzie” jest adekwatnym określeniem, gdyż nieliniowość tych systemów pozwala przewidzieć ich zachowanie tylko do pewnego czasu. Po tym czasie symulacje zaczynają się „rozbiegać”, nawet przy zastosowaniu największej dokładności obliczeń. Tak się dzieje na przykład z pogodą, której prognozy są wiarygodne tylko na kilka dni naprzód. Potem zaczyna się loteria. Czas, przez który rozbieżności obliczeniowe mogą być tolerowane nie zakłócając ogólnego obrazu symulacji i jej zgodności z systemem fizycznym, czyli inaczej przewidywalności systemu, nazywamy czasem Lapunowa. Czasy Lapunowa są różne dla różnych systemów chaotycznych: chaotyczne obwody elektryczne to około 1 milisekundy; systemy pogodowe – kilka dni; Układ Słoneczny – 4 do 5 milionów lat. Nie można obliczyć użytecznej prognozy zachowania układu (np. pogody) w przedziale dłuższym niż 2-3-krotność czasu Lapunowa. 

Chciałbym też uczynić małą dygresję na temat wspomnianego Lapunowa. Tak, to TEN Lapunow, matematyk i fizyk matematyczny, którego nazwisko często spotykali studenci kierunków ścisłych na wykładach (i egzaminach) z matematyki, automatyki, teorii sterowania i rachunku prawdopodobieństwa.

Edward Norton Lorenz, matematyk i meteorolog, jest twórcą pojęcia chaosu deterministycznego, którego matematyczna teoria wywarła rewolucyjny wpływ na nasze postrzeganie świata. Meteorologia była wyjątkowo wdzięczną dziedziną dla odkryć dokonanych przez Lorenza. Pierwszym krokiem było zakwestionowanie liniowych modeli pogodowych. Zjawiska pogodowe są z natury mocno nieliniowe, nieproporcjonalne, a często mają naturę katastrofy. Od tego odkrycia do teorii chaosu był już tylko mały krok. Symulacje pogody Lorenz wykonywał na prymitywnych komputerach (był początek lat 60. XX wieku). Zaokrąglanie wyników pośrednich do 3 cyfr po przecinku, mimo obliczeń o precyzji 6-cyfrowej, prowadziło do dużych rozbieżności wyników prognoz przy minimalnej zmianie warunków początkowych. Tu znowu posłużę się słowami Lorenza z 1963 roku: Dwa stany różniące się niezauważalnymi ilościami mogą ostatecznie przekształcić się w dwa znacznie różne stany… Jeśli zatem jest jakikolwiek błąd w obserwacji obecnego stanu – a w każdym rzeczywistym systemie takie błędy wydają się nieuniknione – akceptowalne przewidywanie stanu chwilowego w odległej przyszłości może okazać się niemożliwe…. Ze względu na nieuniknioną niedokładność i niekompletność obserwacji pogody, precyzyjne prognozowanie na bardzo dalekie odległości wydaje się nie istnieć.

Efekt motyla

Spostrzeżenia te, w odniesieniu do badań pogodowych i słynnego przykładu trzepoczącego skrzydłami japońskiego motyla wywołującego tornado w Teksasie, doprowadziły go do metafory zwanej efektem motyla (początkowo w nazwie miała być mewa). Efektem motyla nazywamy wrażliwość systemu na dowolnie małe zmiany warunków początkowych lub zmianę trajektorii w trakcie trwania procesu. Lorenz zdefiniował i nazwał ten efekt, obserwując obliczenia modelu pogodowego o danym stanie początkowym, które zostały zaokrąglone w pozornie nieistotny dla wyników sposób. Zauważył, że model pogody nie odtworzył poprzednich wyników przy niezaokrąglonych danych początkowych. Bardzo mała zmiana warunków początkowych spowodowała znacząco inny wynik. Wyniki swoich badań na temat chaosu opisał w książce The Essence of Chaos w 1993 roku. Efekt motyla opisał w niej jako: […] zjawisko polegające na tym, że niewielka zmiana stanu układu dynamicznego powoduje, że kolejne stany znacznie różnią się od stanów, które wystąpiłyby bez tej zmiany.

Problem trzech ciał

Jednym z bardziej znanych przykładów fizycznych teorii chaosu jest problem trzech ciał, zdefiniowany przez francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1890. W odróżnieniu od układu dwóch ciał, dla którego istnieje uogólnione rozwiązanie w postaci wzorów i warunków początkowych, problem trzech ciał nie ma rozwiązania w postaci zamkniętej, czyli składającego się tylko ze stałych, zmiennych i skończonego zbioru podstawowych funkcji połączonych operatorami arytmetycznymi ( +, −, ×, ÷ i potęgowanie) oraz złożeń tych funkcji. Matematyczny opis problemu trzech ciał jest układem różniczkowych równań ruchu, chaotycznym dla większości stanów początkowych.

Typowym przykładem układu trzech ciał jest układ Słońce-Ziemia-Księżyc. Chiński pisarz science fiction Cixin Liu napisał trylogię, której pierwszy tom, zatytułowany nomen omen „Problem trzech ciał” (nagroda Hugo, 2015) opisuje cywilizację pozaziemską żyjącą na planecie w gwiazdowym układzie potrójnym (stąd trzy ciała), która nie jest w stanie przewidzieć przyszłego stanu swojego układu planetarnego. W związku z tym cała przyroda na planecie wykształciła ewolucyjnie mechanizm przetrwania w ekstremalnych warunkach wywoływanych przez nieprzewidywalnie zbliżające się i oddalające gwiazdy układu podwójnego i towarzyszące im naprzemienne fazy ekstremalnego gorąca i chłodu.

 Zastosowania

Teoria chaosu jest z powodzeniem stosowana w praktyce: w geologii, biologii, informatyce (kryptografia), ekonomii, inżynierii, finansach, meteorologii, antropologii, fizyce, polityce i socjologii, demografii, robotyce. 

Od kilkudziesięciu lat kryptografia wykorzystuje teorię chaosu. I to nie tylko w algorytmach kryptograficznych, ale także do obliczania funkcji skrótu, kompresji obrazów i dźwięku, generowania bezpiecznych sekwencji liczb pseudolosowych i steganografii (ukrywanie zaszyfrowanego przekazu w obrazie, pliku binarnym lub dźwiękowym). Robotyka, to kolejna dziedzina wykorzystująca teorię chaosu w projektowaniu bardziej naturalistycznego zachowania robotów w naturalnym, chaotycznym otoczeniu. Zamiast krok po kroku dostosowywać się do otoczenia, zastosowano „chaotyczne”, efektywniej dostosowujące się modele predykcyjne. Przykładem są dwunożne roboty pasywne, których dynamika ruchu jest kontrolowana przez algorytmy wykorzystujące teorię chaosu. Także modelowanie ekonomiczne wykorzystuje teorię chaosu. Procesy ekonomiczne są z natury rzeczy pseudo-stochastyczne, niepoddające się klasycznemu modelowaniu. Teorię chaosu wykorzystuje się także do analizy pozornie przypadkowych szeregów czasowych. Nieliniowa analiza danych, szczególnie ilościowa analiza powtarzalności, pozwala odnaleźć prawidłowości i cykliczność w pozornie przypadkowym ciągu danych czasowych. W praktyce oznacza to, że można skutecznie modelować skutki gospodarcze takich katastrofalnych i nieprzewidywalnych zjawisk jak na przykład epidemia Covid-19. 

Wierszyk zamiast epilogu

For want of a nail, the shoe was lost.
For want of a shoe, the horse was lost.
For want of a horse, the rider was lost.
For want of a rider, the battle was lost.
For want of a battle, the kingdom was lost.
And all for the want of a horseshoe nail.